На этом уроке будем находить вероятность наступления события в независимых испытаниях при повторении испытаний. Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания. Независимые испытания могут проводиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления некоторого события во всех испытаниях одна и та же, во втором случае она меняется от испытания к испытанию.
Примеры независимых повторных испытаний:
- выйдет из строя один из узлов прибора или два, три узла, причём выход из строя каждого узла не зависит от другого узла, а вероятность выхода из строя одного узла постоянна во всех испытаниях;
- произведённая в некоторых постоянных технологических условиях деталь, или три, четыре, пять деталей, окажутся нестандартными, причём одна деталь может оказаться нестандартной независимо от любой другой детали и вероятность того, что деталь окажется нестандатной, постоянна во всех испытаниях;
- из нескольких выстрелов по мишени один, три или четыре выстрела попадают в цель независимо от исходов других выстрелов и вероятность попадания в цель постоянна во всех испытаниях;
- при опускании монеты автомат сработает правильно один, два или другое число раз независимо от того, какой результат имели другие опускания монеты, и вероятность того, что автомат сработает правильно, постоянна во всех испытаниях.
Эти события можно описать одной схемой. Каждое событие наступает в каждом испытании с одной и той же вероятностью, которая не изменяется, если становятся известными результаты предыдущих испытаний. Такие испытания называются независимыми, а схема называется схемой Бернулли. Предполагается, что такие испытания могут быть повторены как угодно большое количество раз.
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит m раз, находится по формуле Бернулли:
(где q = 1 – p — вероятность того, что событие не наступит)
Поставим задачу – найти вероятность того, что событие такого типа в n независимых испытаниях наступит m раз.
Формула Бернулли: примеры решения задач
Пример 1. Найти вероятность того, что среди взятых случайно пяти деталей две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0,9.
Решение. Вероятность события А , состоящего в том, что взятая случайно деталь стандартна, есть p=0,9 , а вероятность того, что она нестандартна, есть q=1–p=0,1 . Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через В ) наступит, если, например, первые две детали окажутся стандартными, а следующие три – нестандартными. Но событие В также наступит, если первая и третья детали окажутся стандартными, а остальные – нестандартными, или если вторая и пятая детали будут стандартными, а остальные – нестандартными. Имеются и другие возможности наступления события В . Любая из них характеризуется тем, что из пяти взятых деталей две, занимающие любые места из пяти, окажутся стандартными. Следовательно, общее число различных возможностей наступления события В равно числу возможностей размещения на пяти местах двух стандартных деталей, т.е. равно числу сочетаний из пяти элементов по два, а .
Вероятность каждой возможности по теореме умножения вероятностей равна произведению пяти множителей, из которых два, соответствующие появлению стандартных деталей, равны 0,9, а остальные три, соответствующие появлению нестандартных деталей, равны 0,1, т.е. эта вероятность составляет . Так как указанные десять возможностей являются несовместимыми событиями, по теореме сложения вероятность события В , которую обозначим
Пример 2. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует какой-либо один станок из четырёх обслуживаемых им.
Решение. Используя формулу Бернулли при n=4 , m=1 , p=0,6 и q=1–p=0,4 , получим
Пример 3. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день.
Решение. Автобаза будет работать нормально (событие F ), если на линию выйдут или восемь (событие А ), или девять (событие В ), или все десять автомашин событие (событие C ). По теореме сложения вероятностей,
Каждое слагаемое находим по формуле Бернулли. Здесь n=10 , m=8; 9; 10 , а p=1-0,1=0,9 , так как p должно означать вероятность выхода автомашины на линию; тогда q=0,1 . В результате получим
Пример 4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.
Решение. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через С ) состоит в том, что из шести покупателей двум, трём, четырём, пяти или шести необходима обувь 41-го размера. Применив теорему сложения вероятностей, а затем формулу Бернулли, получим ответ. Однако задача решается проще, если сначала искать вероятность не требуемого в условии задачи, а противоположного ему события . Оно состоит в том, что менее чем двум покупателям необходима обувь 41-го размера, то есть или ни одному покупателю (событие А ), или только одному (событие В ). Таким образом,
По формуле Бернулли при n=6 , p=0,25 , q=0,75 и m=0; 1 получим
(при подсчёте следует иметь в виду, что ). Тогда вероятность события С найдётся как вероятность события, противоположного найденному:
Источник: function-x.ru
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Решение:
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:
A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или
В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована».
Т. к. события «батарейка неисправна» и « батарейка забракована» независимы, значит, вероятность наступления события А равна: Р(А) = 0,02 ∙ 0,99 = 0,0198.
Исправную батарейку линия производит с вероятностью 1 − 0,02 = 0,98.
Для отбраковки исправной батарейки должны произойти два независимых события: «линия произвела исправную батарейку» и «исправная батарейка забракована». Значит, вероятность события В равна Р(В) = 0,98 ∙ 0,01 = 0,0098.
События А и В несовместны. Искомая вероятность равна
Р(АUВ) = Р(А) +Р(В) = 0,0198 + 0, 0098 = 0,0296.
Ответ: 0,0296.
Похожие материалы
- Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
- На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос.
- Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит.
- Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус.
- Вероятность того, что новый DVDпроигрыватель в течение.
- В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
- Вероятность того, что новый сканер прослужит.
Источник: vopvet.ru
Вероятность, что батарейка бракованная, равна 0,02
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.
Решение
- Для решения этой задачи будем использовать теорему умножения вероятностей независимых событий:
вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)·Р(В).
- Применим данную теорему к нашей задаче:
События, при которых обе батарейки окажутся неисправными – независимые, поэтому:
Р = 0,02·0,02 = 0,0004 — вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.
Ответ: 0,0004
Источник: smartrepetitor.ru