Рассмотрим размах и среднее абсолютное отклонение, — наиболее простые меры дисперсии, используемые для анализа финансовых данных, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Как пишет известный исследователь Фишер Блэк, «ключевой вопрос в инвестициях — это оценка ожидаемой доходности».
Мало кто не согласится с важностью ожидаемой доходности или средней доходности инвестиций: средняя доходность говорит нам, где в целом сосредоточена доходность и инвестиционные результаты.
Однако, чтобы полностью понять инвестиции, нам также необходимо знать, как доходность распределена вокруг среднего значения.
Дисперсия (или вариация, англ. ‘dispersion’, ‘variability’, ‘scatter’, ‘spread’) — это изменчивость наблюдений вокруг центральной тенденции распределения. Если среднее значение доходности означает вознаграждение, то дисперсия — характеризует риск.
Далее мы рассмотрим наиболее распространенные показатели дисперсии: размах, среднее абсолютное отклонение, дисперсию генеральной совокупности и выборки, а также стандартное отклонение. Все это меры абсолютной дисперсии.
Абсолютная дисперсия (англ. ‘absolute dispersion’) — это степень присутствия изменчивости без сравнения с какой-либо контрольной точкой или эталоном.
Эти меры широко используются в инвестиционной практике. Дисперсия или стандартное отклонение доходности часто используется в качестве меры риска. Впервые она была применена нобелевским лауреатом Гарри Марковицем (Harry Markowitz).
Уильям Шарп (William Sharpe), еще один лауреат Нобелевской премии по экономике, разработал коэффициент Шарпа, показатель эффективности инвестиций с поправкой на риск. Этот показатель использует стандартное отклонение доходности. Другие показатели дисперсии, среднее абсолютное отклонение и размах, также полезны при анализе финансовых данных.
Размах.
Мы столкнулись с размахом ранее, когда обсуждали построение распределения частот. Размах — это простейший из всех показателей дисперсии. Он может быть вычислен для интервала или коэффициента данных.
Определение размаха.
Размах или интервал изменения (англ. ‘range’) — это разница между максимальным и минимальным значениями в наборе данных:
(Формула 9)
Range = Максимальное значение — Минимальное значение
- наибольшая месячная доходность S dsum_^ left| X_i — overline X right| over n >
) (Формула 10)- ( overline X ) — среднее значение выборки, а
- (n) — количество наблюдений в выборке.
При расчете MAD мы игнорируем знаки (плюсы и минусы) отклонений от среднего значения. Например, если (X_i) = -11.0 и ( overline X ) = 4.5, абсолютное значение разности составляет:
( | -11.0 — 4.5 | = | -15,5 | = 15,5 )
Среднее абсолютное отклонение использует все наблюдения в выборке и, таким образом, превосходит Range в качестве меры дисперсии.
Одним из технических недостатков MAD является то, что им трудно математически манипулировать по сравнению со следующей мерой, которую мы рассмотрим далее, — дисперсией.
В некоторых аналитических работах, таких как оптимизация, важен расчет дифференцирования. Дисперсия как функция может быть дифференцирована, но абсолютное значение не может.
Пример, приведенный ниже иллюстрирует использование размаха и среднего абсолютного отклонения при оценке риска.
Пример расчета размаха и среднего абсолютного отклонения для оценки риска.
Рассчитав среднюю доходность для двух взаимных фондов в Примере (1) расчета и сравнения среднегеометрической и среднеарифметической доходности, финансовый аналитик далее занимается оценкой риска.
Продублируем Таблицу 15 из указанного примера:
Фонд Selected
American Shares
(SLASX)Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)Источник: fin-accounting.ru
Как найти абсолютное отклонение формула
Абсолютное отклонение – это разность между двумя значениями, которые обозначают один и тот же параметр. Оно может быть использовано для измерения различных величин, таких как температура, вес, длина и т. д.
Для расчета абсолютного отклонения необходимо вычесть из более высокого значения более низкое значение, а затем взять абсолютное значение. Для упрощения этой операции можно использовать следующую формулу:
Где a и b – это два значения, которые вы хотите сравнить.
Существует множество примеров, когда абсолютное отклонение может быть полезно в различных областях, от экономики и бизнеса до науки и технологий. Например, при работе с экономическими данными мы можем использовать абсолютное отклонение, чтобы определить разницу между реальными и планируемыми показателями прибыли. В науке мы можем использовать эту меру, чтобы увидеть разницу между измеренной и ожидаемой величиной. В медицине абсолютное отклонение может быть использовано для измерения изменений показателей здоровья пациента.
Что такое абсолютное отклонение?
Абсолютное отклонение (иногда также называемое абсолютной ошибкой) — это числовое значение, которое обозначает насколько далеко исходное значение отличается от среднего значения выборки или какого-то другого эталонного значения.
Понимание абсолютного отклонения важно для статистических и математических расчетов и позволяет оценить точность данных.
Абсолютное отклонение можно рассчитать для каждого значения в выборке и определить среднее значение, которое в дальнейшем может быть использовано для дальнейших расчетов.
Формула расчета абсолютного отклонения достаточно проста:
|x — среднее значение выборки|
где x — значение переменной, а | | обозначает модуль числа, то есть значение без знака.
Например, если у нас есть следующая выборка: 5, 10, 15, 20, 25, мы можем найти ее среднее значение, которое будет равно 15. Абсолютное отклонение для каждого значения можно рассчитать следующим образом: |5-15| = 10, |10-15| = 5, |15-15| = 0, |20-15| = 5, |25-15| = 10. Среднее значение абсолютного отклонения в данном примере будет равно 6.
Применение абсолютного отклонения может быть полезно во многих областях, включая науку, экономику и инженерию, где необходимы точные расчеты и анализ данных.
Как рассчитать абсолютное отклонение?
Абсолютное отклонение – это разность между значением переменной и ее средним значением. Для расчета абсолютного отклонения необходимо вычесть среднее значение из значения переменной и полученное значение взять по модулю.
Для простоты формулу можно записать следующим образом:
- хi – значение переменной;
- х̅ – среднее значение переменной.
Пример расчета абсолютного отклонения:
Номер измерения Значение переменной 1 10 2 12 3 15 4 8 5 9 Среднее значение переменной:
- х̅ = (10 + 12 + 15 + 8 + 9) / 5 = 10.8
Рассчитываем абсолютное отклонение каждого значения:
- |10 — 10.8| = 0.8
- |12 — 10.8| = 1.2
- |15 — 10.8| = 4.2
- |8 — 10.8| = 2.8
- |9 — 10.8| = 1.8
Суммируем все абсолютные отклонения:
- 0.8 + 1.2 + 4.2 + 2.8 + 1.8 = 11.8
Таким образом, абсолютное отклонение для данного набора данных равно 11.8.
Примеры расчета абсолютного отклонения
Для лучшего понимания того, что такое абсолютное отклонение и как его рассчитывать, давайте рассмотрим несколько примеров:
- Пример 1: У нас есть набор данных: 2, 5, 9, 11, 13. Нам необходимо найти среднее арифметическое значение этого набора данных. Для этого нужно сложить все числа и разделить полученную сумму на количество чисел: (2 + 5 + 9 + 11 + 13) / 5 = 8. В результате получается, что среднее арифметическое этого набора равно 8.
- Пример 2: Допустим, у нас есть данные о количестве продаж продукта в течение пяти дней: 12, 15, 17, 20, 25. Нам нужно рассчитать абсолютное отклонение каждого значения от среднего. Сначала нужно найти среднее значение этого набора данных (12 + 15 + 17 + 20 + 25) / 5 = 17.8. Затем, для каждого значения нужно найти разницу между этим значением и средним значением: |12 — 17.8| = 5.8; |15 — 17.8| = 2.8; |17 — 17.8| = 0.8; |20 — 17.8| = 2.2; |25 — 17.8| = 7.2. Таким образом, абсолютное отклонение для каждого значения равно: 5.8, 2.8, 0.8, 2.2, 7.2.
- Пример 3: Данные о доходах компании в течение года: 10000, 12000, 8000, 15000, 17000, 14000. Нам нужно найти абсолютное отклонение каждого значения от среднего. Сначала нужно найти среднее значение: (10000 + 12000 + 8000 + 15000 + 17000 + 14000) / 6 = 12333.33. Затем для каждого значения нужно найти разницу между этим значением и средним значением: |10000 — 12333.33| = 2333.33; |12000 — 12333.33| = 333.33; |8000 — 12333.33| = 4333.33; |15000 — 12333.33| = 2666.67; |17000 — 12333.33| = 4666.67; |14000 — 12333.33| = 1666.67. Таким образом, абсолютное отклонение для каждого значения равно: 2333.33, 333.33, 4333.33, 2666.67, 4666.67, 1666.67.
Таким образом, абсолютное отклонение – это важный метод для оценки распределения данных и оценки их точности и достоверности. Он позволяет выразить разброс данных от их среднего значения и помогает понять, насколько наблюдения могут отличаться от среднего значения группы данных.
Источник: stduviewer-free.ru
3.3. Абсолютные и относительные отклонения
Абсолютное отклонение — это разность между фактической и базовой величиной показателя. Абсолютные отклонения могут быть рассчитаны для любых количественных и качественных показателей (объема продукции, количественных
и качественных показателей, характеризующих использование ресурсов, величины активов, прибыли, финансовых коэффициентов и т. п.). Например, N = N 1 – N 0 ; R = R 1 – R 0 ; D = D 1 – D 0 , где N — объем продукции; R — среднесписочная численность работающих; D — выработка продукции на одного работающего.
Базовые значения показателей в анализе принято обозначать индексом 0, фактические — 1, отклонения (изменения) — символом . Относительное отклонение позволяет измерить прирост ресурса с учетом темпов роста продукции, выпущенной с использованием данного ресурса. Относительные отклонения вычисляются только для количественных показателей, характеризующих величину потребленных ресурсов (затрат ресурсов). Чтобы найти относительное отклонение, нужно из фактической величины ресурса вычесть его базовую величину, скорректированную на коэффициент изменения объема продукции. R’ = R 1 – R 0 × k N ; k N = N 1 / N 0 . Величина R 0 × k N показывает, сколько ресурсов было бы необходимо для производства фактического объема продукции, если бы не изменялись качественные характеристики использования ресурсов. Отрицательное относительное отклонение называется относительной экономией ресурса, положительное — относительным перерасходом . Если представить фактическую величину ресурса через его базовую величину и темп роста k R , формулу исчисления относительного отклонения можно преобразовать следующим образом: 64
R’ = R 1 – R 0 × k N = R 0 × k R – R 0 × k N = R 0 × (k R – k N ). Такое представление демонстрирует, что относительное отклонение возникает за счет разницы темпов роста ресурса и продукции. Если темп роста продукции опережает темп роста ресурса, возникает относительная экономия, что свидетельствует о достаточно эффективном использовании ресурса.
Если же темп роста ресурса превышает темп роста продукции, ресурс используется неэффективно, о чем свидетельствует относительный перерасход. Если же темпы роста ресурса и продукции совпадают, относительное отклонение равно нулю. Это означает, что прирост продукции получен экстенсивным путем, т.е. только за счет привлечения дополнительных ресурсов. При этом качественные показатели использования ресурса не изменяются. На основании данных таблицы 3.1 оценим эффективность использования трудовых ресурсов.
Таблица 3.1 Исходные данные для оценки эффективности использования трудовых ресурсов Показатель Предыдущий Отчетный год Абсолютное Темп роста, год отклонение % Объем продукции 4500 5000 500 111,1 (N), тыс. руб. Среднесписочная численность 90 96 6 106,7 работающих (R), чел. Выработка продукции 50 52,08 2,08 104,2 на одного работающего (D), тыс. руб. Относительное отклонение может быть вычислено только для показателя, характеризующего численность работающих. R’ = R 1 – R 0 × k N = 96 – 90 × 1,111 = 96 – 100 = –4. 65
Данные таблицы 3.1, а также расчет относительного отклонения позволяют сделать вывод, что трудовые ресурсы использовались достаточно эффективно. Об этом свидетельствует опережающий темп роста объема продукции по сравнению с темпом роста численности работающих, что и привело к относительной экономии данного вида ресурса, а также к росту выработки продукции на одного работающего.
3.4. Расчет доли прироста продукции за счет экстенсивных и интенсивных факторов
Прирост продукции может быть получен либо за счет привлечения дополнительных ресурсов, т.е. экстенсивным путем, либо за счет лучшего использования производственных ресурсов, т.е. интенсивным путем. Для оценки степени интенсивности использования ресурсов рассчитываются доли прироста продукции за счет экстенсивных и интенсивных факторов (коэффициенты экстенсивности и интенсивности использования ресурсов). Коэффициент экстенсивности , или доля прироста продукции за счет экстенсивных факторов использования ресурсов, рассчитывается по формуле:
K = D N = k R – 1 × 100 = t R – 100 × 100, экст R k N – 1 t N – 100 где k N (t N ) — коэффициент (темп) изменения объема продукции; k R — коэффициент изменения среднесписочной численности работающих (величины материальных ресурсов, среднегодовой стоимости основных производственных фондов, среднегодовых остатков оборотных активов). Коэффициент интенсивности , или доля прироста продукции за счет интенсивных факторов использования ресурсов (выработки продукции на одного работающего, материалоотдачи и т.п.), рассчитывается по формуле: 66
К инт = D N D = 100 – К экст . Оценим степень интенсивности использования трудовых ресурсов на основании данных таблицы 3.1.К экст = D N D = 106,7 – 100 × 100 = 60,4% 111,1 – 100 К инт = D N D = 100 – 60,4 = 39,6. Проведенные расчеты подтверждают ранее сделанные выводы. Однако расчет коэффициентов экстенсивности и интенсивности показывает, что в основном прирост объема продукции получен за счет экстенсивного фактора (60%). Изменим условия примера (таблица 3.2).
Таблица 3.2 Исходные данные для оценки эффективности использования трудовых ресурсов Показатель Предыдущий Отчетный Абсолютное Темп роста, % год год отклонение Объем продукции 4500 5000 500 111,1 (N), тыс. руб. Среднесписочная численность 90 105 15 116,7 работающих (R), чел. Выработка продукции 50 47,6 –2,4 95,2 на одного работающего (D), тыс. руб. В этом случае R’ = R 1 – R 0 × k N = 105 – 90 × 1,111 = 105 – 100 = +5. 116,7 – 100 К экст = D N R =
× 100 = 150,5% 111,1 – 100 К инт = D N D = 100 – 150,5 = –50,5%. 67
Из данных таблицы 3.2 и проведенных расчетов следует, что опережение темпа роста численности работающих по сравнению с темпом роста объема продукции обусловило неэффективное использование трудовых ресурсов. Это подтверждает относительный перерасход ресурсов, а также тот факт, что весь прирост продукции получен только за счет экстенсивного фактора при снижении объема продукции за счет снижения выработки продукции на одного работающего, т.е. интенсивного фактора. Если же выработка продукции останется на прежнем уровне, т.е. численность работающих в отчетном периоде будет 100 чел., то весь прирост объема продукции (100%) будет получен за счет роста численности работающих (экстенсивного фактора), а относительное отклонение численности будет равно 0 при абсолютном росте на 10 чел.
3.5. Элементарные методы обработки рядов динамики
Динамический, или временной, ряд — это совокупность значений изучаемого показателя, относящихся к некоторым последовательным интервалам или моментам времени; в первом случае ряд называется интервальным , во втором — моментным . Временной интервал, как правило, предполагается постоянным. Динамический ряд представляется обычно следующим образом: х 1 , х 2 , … , х n , где х 1 — элемент (уровень) ряда, к = 1, …, n; к — количество временных периодов. В анализе используются следующие основные количе- ственные характеристики ряда динамики: абсолютное изменение уровня ряда с постоянной базой сравнения (базисное абсолютное изменение уровня ряда) пока-
зывает абсолютную скорость роста или снижения относительно некоторой базы; чаще всего за базу принимается уровень первого элемента б х к = х к – х 1 ; абсолютное изменение уровня ряда с переменной базой сравнения (цепное абсолютное изменение уровня ряда) характеризует абсолютное изменение уровня ряда в двух смежных периодах ц х к = х к – х к – 1 ; темп роста с постоянной базой сравнения (базисный темп роста)
t бк = x к ґ 100; x 1 темп роста с переменной базой сравнения (цепной темп роста) (произведение всех последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста)
t цк = x к ґ 100; x к – 1 темп прироста (с постоянной или переменной базой сравнения) представляет собой превышение темпа роста над 100% t пр б (ц) к = t б (ц) к –100%; темп снижения (с постоянной или переменной базой сравнения) рассчитывается, когда темп роста <100% t сн б (ц) к = 100% – t б (ц) к ; абсолютное значение одного процента прироста характеризует значимость каждого процента прироста, рассчитывается делением абсолютного прироста с переменной базой сравнения на цепной темп прироста
Источник: studfile.net